Questão do ENEM 2025

Matemática · habilidade 19Caderno Amarelo · Questão 159

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo $T$ , em minuto, de acordo com uma função do tipo $D = k + \mathrm{tg}[p(T + m)],$

sendo os parâmetros $k$ , $p$ e $m$ números reais, para $T$ variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de $D$ .

A expressão algébrica que representa a relação entre $D$ e $T$ é

Alternativa A: $D = 2{,}5 + \mathrm{tg}\left[30\left(T - \dfrac{5 - 2\pi}{2}\right)\right]$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O valor 2,5 é a abscissa do ponto marcado, e não a constante k: no centro da curva, em T = 2,5, tem-se D = 30, logo $k = 30$ . Além disso, o fator 30 daria período muito curto, incompatível com assíntotas que distam $2\pi$ .
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Alternativa B: $D = 4 + \mathrm{tg}\left[30\left(T + \dfrac{5}{2}\right)\right]$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O valor 4 é o limite do intervalo de tempo, e não o valor de D no centro da curva, que é 30. O fator 30 também dá período $\frac{\pi}{30}$ , muito menor que o $2\pi$ mostrado entre as assíntotas.
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Alternativa C: $D = 4 + \mathrm{tg}\left[2{,}5\left(T + \dfrac{5 + 2\pi}{2}\right)\right]$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Ela usa k = 4 e fator 2,5, que trocam o limite de tempo e a abscissa do ponto marcado pelos parâmetros da função. O centro da curva está em D = 30, e o período entre as assíntotas é $2\pi$ , o que exige fator $\frac{1}{2}$ .
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Alternativa D: $D = 30 + \mathrm{tg}\left[\dfrac{1}{2}(T - 5)\right]$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Os parâmetros $k = 30$ e fator $\frac{1}{2}$ estão certos, mas o deslocamento $T - 5$ leva o centro da curva a T = 5 e as assíntotas a $5 \pm \pi$ . A figura mostra o centro em T = 2,5 e assíntotas em $\frac{5 \pm 2\pi}{2}$ .
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Alternativa E: $D = 30 + \mathrm{tg}\left[\dfrac{1}{2}\left(T - \dfrac{5}{2}\right)\right]$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. A distância entre as assíntotas $\frac{5 - 2\pi}{2}$ e $\frac{5 + 2\pi}{2}$ é $2\pi$ , o período da tangente $\frac{\pi}{p}$ , logo $p = \frac{1}{2}$ . O centro está no meio das assíntotas, em T = $\frac{5}{2}$ , onde D = 30; assim $k = 30$ e $m = -\frac{5}{2}$ . Então $D = 30 + \mathrm{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right]$ .
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Fonte e auditoria

Código INEP: 95816
Código da prova: 1472
Arquivo do PDF: 2025_PV_impresso_D2_CD5.pdf