Questão do ENEM 2024

Matemática · habilidade 22Caderno Roxo · Questão 169

Um jardineiro dispõe de $k$ metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

Alternativa A: hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}$ . gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Com k metros de cerca, o perímetro é k. O hexágono regular tem lado $\frac{k}{6}$ e área $6 \cdot \frac{(k/6)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{k^2\sqrt{3}}{24} \approx 0{,}072k^2$ . O quadrado dá $\frac{k^2}{16} = 0{,}0625k^2$ , e o triângulo equilátero dá $\frac{k^2\sqrt{3}}{36} \approx 0{,}048k^2$ . O hexágono resulta na maior área.
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Alternativa B: hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{3k^2\sqrt{3}}{2}$ .
Justificativa
Esta alternativa está errada. A forma escolhida está certa, mas a área $\frac{3k^2\sqrt{3}}{2}$ é a de um hexágono de lado k, e não a do hexágono de perímetro k, cujo lado é $\frac{k}{6}$ . Esse valor seria enorme, bem maior que o quadrado do perímetro.
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Alternativa C: quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2}{16}$ .
Justificativa
Esta alternativa está errada. O quadrado de lado $\frac{k}{4}$ tem de fato área $\frac{k^2}{16} = 0{,}0625k^2$ , mas esse valor é menor que o do hexágono regular (cerca de $0{,}072k^2$ ). Quem a escolhe não compara com as outras formas.
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Alternativa D: triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{36}$ .
Justificativa
Esta alternativa está errada. O triângulo equilátero de lado $\frac{k}{3}$ tem de fato área $\frac{k^2\sqrt{3}}{36} \approx 0{,}048k^2$ , mas é a menor das três áreas, e não a maior.
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Alternativa E: triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{4}$ .
Justificativa
Esta alternativa está errada. A área $\frac{k^2\sqrt{3}}{4}$ é a de um triângulo equilátero de lado k, e não de perímetro k, em que o lado é $\frac{k}{3}$ . O erro está em confundir o perímetro com o lado.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 95687
Código da prova: 1415
Arquivo do PDF: 2024_PV_impresso_D2_CD12.pdf