Questão do ENEM 2020

Matemática · habilidade 15Reaplicação · Caderno Azul · Questão 164

Dois atletas partem de pontos, respectivamente $P_1$ e $P_2$ , em duas pistas planas distintas, conforme a figura, deslocando-se no sentido anti-horário até a linha de chegada, percorrendo, desta forma, a mesma distância ( $L$ ). Os trechos retos dos finais das curvas até a linha de chegada desse percurso têm o mesmo comprimento ( $l$ ) nas duas pistas e são tangentes aos trechos curvos, que são semicírculos de centro C. O raio do semicírculo maior é $R_1$ e o raio do semicírculo menor é $R_2$ .

Sabe-se que o comprimento de um arco circular é dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido em radiano, subentendido pelo arco.

Nas condições apresentadas, a razão da medida do ângulo $P_2\widehat{C}P_1$ pela diferença $L - l$ é dada por

Alternativa A: $R_2 - R_1$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A diferença $R_2 - R_1$ é negativa (o raio $R_2$ é menor que $R_1$ ) e tem dimensão de comprimento, enquanto a razão pedida é um ângulo dividido por um comprimento. Pelo comprimento do arco, $L - l = R_1\alpha_1 = R_2\alpha_2$ , e a razão envolve os inversos dos raios, não sua diferença.
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Alternativa B: $\dfrac{1}{R_1} - \dfrac{1}{R_2}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A expressão $\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}$ é negativa, pois $R_1 > R_2$ , e o ângulo $P_2\widehat{C}P_1$ não pode ser negativo. Ela é a diferença correta, mas com a ordem trocada: o ângulo é $\alpha_2 - \alpha_1$ , com $\alpha_2 = \frac{L-l}{R_2}$ e $\alpha_1 = \frac{L-l}{R_1}$ .
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Alternativa C: $\dfrac{1}{R_2} - \dfrac{1}{R_1}$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Como os dois atletas percorrem a mesma distância $L$ e os trechos retos têm o mesmo comprimento $l$ , os arcos têm $L - l$ : $R_1\alpha_1 = R_2\alpha_2 = L - l$ . O atleta da pista interna parte de $P_2$ , mais atrás no sentido do percurso, e percorre o ângulo extra $\theta = \alpha_2 - \alpha_1 = (L-l)\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right)$ . Logo $\frac{\theta}{L - l} = \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}$ .
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Alternativa D: $\dfrac{1}{R_2 - R_1}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A expressão $\frac{1}{R_2 - R_1}$ é o inverso da diferença dos raios, mas o ângulo é a diferença dos inversos, $\frac{L-l}{R_2} - \frac{L-l}{R_1}$ , e não o inverso da diferença. Além disso, $R_2 - R_1$ é negativo, o que daria uma razão negativa.
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Alternativa E: $\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A soma $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ não representa a diferença entre os ângulos percorridos. O ângulo $P_2\widehat{C}P_1$ é a diferença $\alpha_2 - \alpha_1$ , com $\alpha_i = \frac{L-l}{R_i}$ , e não a soma deles.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 87127
Código da prova: 667
Arquivo do PDF: ENEM_2020_P2_CAD_07_DIA_2_AZUL.pdf