Questão do ENEM 2020

Matemática · habilidade 2Digital · Caderno Azul · Questão 174

Um modelo de telefone celular oferece a opção de desbloquear a tela usando um padrão de toques como senha.

Os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões numeradas da tela, sendo que o usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques ao todo.

Qual expressão representa o número total de códigos existentes?

Alternativa A: $4^5 - 4^4 - 4^3$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A expressão subtrai os códigos de 4 e de 5 toques do total, mas esses códigos devem ser somados, pois são conjuntos disjuntos de senhas. Com 3, 4 ou 5 toques, o total é $4^3 + 4^4 + 4^5 = 1\,344$ , e a subtração daria apenas $704$ .
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa B: $4^5 + 4^4 + 4^3$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Cada toque pode ser feito em qualquer das 4 regiões, com repetição permitida. Com 3 toques há $4^3$ códigos, com 4 toques $4^4$ e com 5 toques $4^5$ . Como o usuário escolhe uma dessas quantidades (casos que não se misturam), somam-se as possibilidades: $4^5 + 4^4 + 4^3$ .
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa C: $4^5 \times 4^4 \times 4^3$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Multiplicar $4^5 \times 4^4 \times 4^3$ seria o raciocínio de quem faria as três senhas ao mesmo tempo, o que não ocorre. O usuário escolhe um único tamanho de código (3, 4 ou 5 toques), então as possibilidades se somam, em vez de se multiplicarem.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa D: $(4!)^5$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A expressão $(4!)^5$ usa permutações das 4 regiões em cinco etapas, mas aqui os toques podem repetir regiões livremente, e o código pode ter 3, 4 ou 5 toques. Cada quantidade tem $4^n$ possibilidades, e o total é a soma dos três casos.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa E: $4^5$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O valor $4^5$ conta apenas os códigos com exatamente 5 toques. O enunciado permite escolher 3, 4 ou 5 toques, então é preciso incluir também os $4^3$ códigos de 3 toques e os $4^4$ de 4 toques.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

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Fonte e auditoria

Código INEP: 87096
Código da prova: 695
Arquivo do PDF: ENEM_2020_DIGITAL_CAD_07_DIA_2_AZUL.pdf