Questão do ENEM 2022

Matemática · habilidade 28Caderno Azul · Questão 137

A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.

Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre $\dfrac{1}{2}$ .

Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?

Alternativa A: $\dfrac{35}{64}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A probabilidade de o time que venceu a primeira partida ser campeão é $\frac{42}{64}$ , e $\frac{35}{64}$ corresponde a uma contagem incompleta das sequências favoráveis. Quem vence a primeira precisa de apenas mais 3 vitórias antes que o adversário chegue a 4, o que lhe dá uma vantagem bem maior do que a de 35 casos em 64.
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Alternativa B: $\dfrac{40}{64}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Ao vencer a primeira partida, o time precisa de mais 3 vitórias antes de o adversário chegar a 4. Imaginando 6 partidas adicionais sempre disputadas, ele é campeão se vencer pelo menos 3 delas: $20 + 15 + 6 + 1 = 42$ casos entre 64. O valor $\frac{40}{64}$ deixa de contar parte desses casos.
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Alternativa C: $\dfrac{42}{64}$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Se um time venceu a primeira partida, ele precisa de mais 3 vitórias antes que o adversário complete 4. Isso equivale a imaginar mais 6 partidas sempre disputadas, pois as extras não mudam quem é campeão, e o time é campeão se vencer ao menos 3 das 6. Então $\binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6} = 20 + 15 + 6 + 1 = 42$ casos favoráveis em $2^6 = 64$ , isto é, $\frac{42}{64}$ .
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Alternativa D: $\dfrac{44}{64}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O número de casos favoráveis é 42 em 64: com 6 partidas adicionais imaginadas, o time precisa vencer pelo menos 3, o que dá $20 + 15 + 6 + 1 = 42$ . O valor $\frac{44}{64}$ conta casos que não existem, superestimando a vantagem de quem venceu a primeira partida.
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Alternativa E: $\dfrac{52}{64}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O valor $\frac{52}{64}$ equivale a cerca de 81%, bem acima do real. Vencer a primeira partida eleva a chance de ser campeão de $\frac{1}{2}$ para $\frac{42}{64}$ , cerca de 66%, pois a contagem é de 20 + 15 + 6 + 1 = 42 casos entre os 64 possíveis de 6 partidas adicionais.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 86840
Código da prova: 1075
Arquivo do PDF: ENEM_2022_P1_CAD_07_DIA_2_AZUL.pdf