Questão do ENEM 2022

Matemática · habilidade 14Reaplicação · Caderno Azul · Questão 158

Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado. Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

Pretende-se que a nova pista tenha extensão mais próxima que a da original após duas modificações. Os trechos em comum da pista original e da nova pista não serão alterados.

Utilize 3 como aproximação para $\pi$ .

Para atender às condições apresentadas, quais setores deverão ser modificados?

Alternativa A: I e V
Justificativa
Esta alternativa está errada. No setor I, o novo trecho (reto) elimina dois lados de 50 m, então a pista encurta em 100 m. No setor V, o trecho reto de 200 m é trocado por dois lados de um triângulo equilátero (ângulos de 60°), ou seja, 400 m, e a pista cresce 200 m. A soma das duas modificações é $-100 + 200 = +100$ m, ainda longe de manter a extensão original.
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Alternativa B: II e III
Justificativa
Esta alternativa está errada. No setor II, o trecho original tem $300 + 400 = 700$ m e o novo é a hipotenusa de 500 m, o que dá $-200$ m. No setor III, o trecho reto de 480 m vira uma semicircunferência de raio 240 m, com $3 \cdot 240 = 720$ m, o que dá $+240$ m. O saldo é $+40$ m, diferente de zero.
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Alternativa C: II e V gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Setor II: o caminho original tem $300 + 400 = 700$ m e o novo, a hipotenusa do triângulo 300, 400 e 500, tem 500 m, variação de $-200$ m. Setor V: o trecho de 200 m vira dois lados de um triângulo equilátero (ângulos de 60°), $200 + 200 = 400$ m, variação de $+200$ m. A soma é zero, e nenhum outro par chega tão perto da extensão original.
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Alternativa D: III e IV
Justificativa
Esta alternativa está errada. No setor III, a semicircunferência de raio 240 m mede $3 \cdot 240 = 720$ m no lugar dos 480 m originais, uma variação de $+240$ m. No setor IV, a semicircunferência original de raio 180 m ( $3 \cdot 180 = 540$ m) é trocada pelo segmento de 360 m, variação de $-180$ m. O saldo é $+60$ m, e há par com saldo menor.
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Alternativa E: IV e V
Justificativa
Esta alternativa está errada. No setor IV, trocar a semicircunferência de 540 m (raio 180 m, $\pi = 3$ ) pelo segmento de 360 m dá $-180$ m. No setor V, o trecho de 200 m passa a medir 400 m, $+200$ m. O saldo é $+20$ m, que se aproxima da extensão original, mas existe um par com saldo nulo.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 86839
Código da prova: 1115
Arquivo do PDF: ENEM_2022_P2_CAD_07_DIA_2_AZUL.pdf