Questão do ENEM 2020

Matemática · habilidade 19Caderno Amarelo · Questão 156

A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por $f = \frac{A}{r^{B}}$

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.

Diponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adatpado).

Com base nos valores de $X = \log (r)$ e $Y = \log (f)$ , é possível estimar valores para A e B. No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é

Alternativa A: $Y = \log (A) - B \cdot X$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Aplicando o logaritmo a $f = \frac{A}{r^{B}}$ , temos $\log(f) = \log(A) - \log(r^{B})$ . Pela propriedade da potência, $\log(r^{B}) = B \cdot \log(r)$ . Com $X = \log(r)$ e $Y = \log(f)$ , resulta $Y = \log(A) - B \cdot X$ , uma reta.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa B: $Y = \dfrac{\log (A)}{X + \log (B)}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Ela trata $\log(r^{B})$ como $\log(B)$ somado a algo no denominador, o que não decorre de nenhuma propriedade do logaritmo. O logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos, e não um quociente de logaritmos.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa C: $Y = \dfrac{\log (A)}{B} - X$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Ela divide $\log(A)$ por $B$ e subtrai $X$ , mas o expoente B multiplica $X$ (pela propriedade $\log(r^{B}) = B \log(r)$ ), e não divide $\log(A)$ . O coeficiente de $X$ deveria ser $-B$ .
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa D: $Y = \dfrac{\log (A)}{B \cdot X}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Ela escreve a relação como um quociente de $\log(A)$ por $B \cdot X$ , confundindo a diferença de logaritmos com um quociente. Do logaritmo de $\frac{A}{r^{B}}$ obtém-se uma subtração, não uma divisão.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa E: $Y = \dfrac{\log (A)}{X^{B}}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Ela mantém a forma da lei original, com $X^{B}$ no denominador, mas o logaritmo transforma a potência em produto: $\log(r^{B}) = B \cdot X$ , e não $X^{B}$ . Também transforma a divisão em subtração, e não em quociente.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

Comentários do professor

Ainda sem comentário cadastrado.

Comentários de alunos

Entre com uma conta matriculada em turma para ver e postar comentários.

Fonte e auditoria

Código INEP: 84253
Código da prova: 588
Arquivo do PDF: ENEM_2020_P1_CAD_05_DIA_2_AMARELO.pdf