Questão do ENEM 2021

Matemática · habilidade 21Caderno Azul · Questão 152

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo $\Delta$ e estrela $*$ , definidas sobre o conjunto dos números reais por $x \Delta y = x^2 + xy - y^2$ e $x * y = xy + x$ .

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada $b$ , que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação $(a \Delta b) * (b \Delta a) = 0$ . Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada $b = 1$ .

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

Alternativa A: $\sqrt{5}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O valor $\sqrt{5}$ é a diferença entre as duas raízes de $a^2 + a - 1 = 0$ , e não a soma das duas maiores soluções da equação completa. A soma pedida é $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2{,}62$ , enquanto $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ .
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa B: $\sqrt{3}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O valor $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ não se obtém somando as duas maiores soluções da equação. Estas são 2 e $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ , cuja soma é cerca de 2,62.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa C: $\sqrt{1}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O valor $\sqrt{1} = 1$ é menor que a maior solução da equação, que é 2. Como a soma das duas maiores soluções é pelo menos 2, esse valor não pode ser o resultado.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa D: $\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O valor $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ é apenas a maior raiz da equação $a^2 + a - 1 = 0$ , isto é, uma única solução. Faltou somar a ela a solução 2, que vem do outro fator da equação.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa E: $\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Com $b = 1$ , temos $a \Delta 1 = a^2 + a - 1$ e $1 \Delta a = 1 + a - a^2$ . Como $u * v = u(v + 1)$ , a equação fica $(a^2 + a - 1)(2 + a - a^2) = 0$ . O primeiro fator dá $a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ e o segundo dá $a = 2$ ou $a = -1$ . As duas maiores soluções são 2 e $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ , cuja soma é $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

Comentários do professor

Ainda sem comentário cadastrado.

Comentários de alunos

Entre com uma conta matriculada em turma para ver e postar comentários.

Fonte e auditoria

Código INEP: 81869
Código da prova: 899
Arquivo do PDF: ENEM_2021_P1_CAD_07_DIA_2_AZUL.pdf