Questão do ENEM 2024

Matemática · habilidade 8Caderno Roxo · Questão 179

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos $P_1$ , $P_2$ e $P_3$ , os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

Alternativa A: 2 e 3.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Valores entre 2 e 3 km lembram um terço da altura do triângulo, cerca de 2,89 km, que é a distância do centro ao lado, e não ao vértice. O hospital precisa estar à mesma distância dos três postos, isto é, do centro ao vértice do triângulo.
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Alternativa B: 4 e 5.
Justificativa
Esta alternativa está errada. A distância do hospital aos postos é maior que 5 km: ela vale cerca de 5,77 km. Valores próximos de 5 aparecem quando se toma a metade do lado, $10 \div 2$ , como se o hospital estivesse sobre o lado do triângulo.
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Alternativa C: 5 e 6. gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Os três postos formam um triângulo equilátero de lado 10 km, e o hospital, equidistante dos três, é o centro da circunferência que passa por eles. A altura do triângulo é $5\sqrt{3} \approx 8{,}66$ km e o raio é dois terços dela: $\frac{2}{3} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5{,}77$ km, valor entre 5 e 6.
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Alternativa D: 7 e 8.
Justificativa
Esta alternativa está errada. A distância pedida é cerca de 5,77 km, menor que 7 km. Um valor entre 7 e 8 só ocorreria com um raio maior do que o permitido pelo triângulo de lado 10 km, o que indica erro na relação entre o lado e o raio da circunferência.
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Alternativa E: 8 e 9.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Um valor entre 8 e 9 km é próximo da altura inteira do triângulo, cerca de 8,66 km. O hospital fica no centro, e não no vértice oposto ao lado, de modo que sua distância aos postos é só dois terços da altura, cerca de 5,77 km.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 79213
Código da prova: 1415
Arquivo do PDF: 2024_PV_impresso_D2_CD12.pdf