Questão do ENEM 2023

Matemática · habilidade 2Reaplicação · Caderno Amarelo · Questão 144

Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade $V$ de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento.

A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; a segunda indicou a retirada da terça parte do que restou; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na $n$ -ésima medição, a retirada da $(n + 1)$ -ésima parte do que restou.

Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições.

Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivamente,

Alternativa A: $\frac{7}{8}V$ , $\frac{8}{9}V$ e $\frac{9}{10}V$
Justificativa
Esta alternativa está errada. As frações $\frac{7}{8}$ , $\frac{8}{9}$ e $\frac{9}{10}$ são só a parte que sobra em uma medição isolada. Quem as escolhe aplica essa fração ao volume inicial V e esquece que cada medição age sobre o que restou das anteriores.
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Alternativa B: $\frac{6}{7}V$ , $\frac{7}{8}V$ e $\frac{8}{9}V$
Justificativa
Esta alternativa está errada. As frações $\frac{6}{7}$ , $\frac{7}{8}$ e $\frac{8}{9}$ correspondem a fatores individuais de medições anteriores, sem acumular o efeito das precedentes. Como os fatores se multiplicam, o volume restante é bem menor que isso.
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Alternativa C: $\frac{6}{8}V$ , $\frac{7}{9}V$ e $\frac{8}{10}V$
Justificativa
Esta alternativa está errada. As frações $\frac{6}{8}$ , $\frac{7}{9}$ e $\frac{8}{10}$ não seguem o padrão de retirada e também não acumulam os fatores das medições anteriores. O volume restante é bem menor que $\frac{3}{4}V$ .
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Alternativa D: $\frac{1}{7}V$ , $\frac{1}{8}V$ e $\frac{1}{9}V$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Os valores $\frac{1}{7}V$ , $\frac{1}{8}V$ e $\frac{1}{9}V$ têm o índice deslocado em um: eles são o que resta após a 6ª, 7ª e 8ª medições. Após a 7ª medição resta $\frac{1}{8}V$ , e não $\frac{1}{7}V$ .
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Alternativa E: $\frac{1}{8}V$ , $\frac{1}{9}V$ e $\frac{1}{10}V$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Na n-ésima medição, resta a fração $\frac{n}{n+1}$ do que havia. O volume após n medições é $V \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{n}{n+1} = \frac{V}{n+1}$ , pois os termos se cancelam. Logo, após a 7ª, 8ª e 9ª medições restam $\frac{1}{8}V$ , $\frac{1}{9}V$ e $\frac{1}{10}V$ .
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Fonte e auditoria

Código INEP: 64151
Código da prova: 1295
Arquivo do PDF: ENEM_2023_P2_CAD_08_DIA_2_ROSA.pdf