Questão do ENEM 2025

Matemática · habilidade 12Aplicação especial · Caderno Cinza · Questão 145

A figura representa uma bola de basquete dentro de uma caixa no formato de paralelepípedo reto de base quadrada, cuja altura mede 27 cm. A bola, quando cheia, tem o formato de uma esfera de 30 cm de diâmetro, que tangencia as faces laterais e a base inferior da caixa, e parte dela fica no exterior da caixa. A tampa tem uma abertura circular que se ajusta perfeitamente à bola.

Qual é a medida da área da tampa da caixa, em centímetro quadrado?

Alternativa A: $\pi \cdot 9^2$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A expressão $\pi \cdot 9^2$ é a área da abertura circular, e não da tampa. A tampa é o que sobra do quadrado de lado 30 cm depois de retirado esse círculo, e quem escolhe esta expressão esquece de descontá-lo do quadrado.
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Alternativa B: $\pi \cdot 15^2$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A área $\pi \cdot 15^2$ é a do círculo máximo da esfera, de raio 15 cm, que só apareceria se a tampa passasse pelo centro da esfera. Como a caixa tem 27 cm de altura, a abertura é menor, e a tampa ainda inclui o quadrado ao redor dela.
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Alternativa C: $30^2 - \pi \cdot 3^2$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O número 3 é a altura da parte da esfera que fica fora da caixa ( $30 - 27$ ), e não o raio da abertura. Usar essa altura como raio confunde a profundidade da calota com a medida do círculo em que a tampa se ajusta à bola.
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Alternativa D: $30^2 - \pi \cdot 9^2$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. A esfera de 30 cm de diâmetro tangencia as faces laterais, então a base da caixa é um quadrado de lado 30 cm, e a tampa é esse quadrado com um furo circular. O centro da esfera está a 15 cm da base e a tampa está a 27 cm, ou seja, a 12 cm do centro. O raio r do furo satisfaz $r^2 = 15^2 - 12^2 = 81$ , logo $r = 9$ . A área da tampa é $30^2 - \pi \cdot 9^2$ .
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Alternativa E: $30^2 - \pi \cdot 15^2$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O raio 15 cm é o da esfera, e serviria para o furo apenas se a tampa estivesse na altura do centro da esfera. Na altura de 27 cm, o plano da tampa corta a esfera em um círculo menor, de raio $\sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ cm.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 5774
Código da prova: 1505
Arquivo do PDF: 2025_PV_impresso_D4_CD6.pdf