Questão do ENEM 2020

Matemática · habilidade 2Caderno Amarelo · Questão 166

O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.

Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

Alternativa A: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O expoente 100 vem de supor que o primeiro quadrado já tem lado $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ . Mas o primeiro quadrado tem lado 1, ou seja, $\left(\frac{1}{2}\right)^0$ , e o n-ésimo tem expoente $n - 1$ .
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Alternativa B: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. O primeiro quadrado tem lado 1, o segundo tem $\frac{1}{2}$ , o terceiro $\frac{1}{4}$ : a cada passo o lado é a metade do anterior. É uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ , com $a_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ . Para o centésimo quadrado, $a_{100} = \left(\frac{1}{2}\right)^{99}$ .
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Alternativa C: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{97}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Pela progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ , o expoente $97$ corresponderia ao 98º quadrado, não ao centésimo. O expoente é sempre uma unidade menor que a posição do quadrado.
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Alternativa D: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-98}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Um expoente negativo faria $\left(\frac{1}{2}\right)^{-98} = 2^{98}$ , um número enorme. Mas os quadrados ficam cada vez menores, e o lado do centésimo é menor que 1.
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Alternativa E: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-99}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com expoente negativo, $\left(\frac{1}{2}\right)^{-99} = 2^{99}$ , um número gigantesco. O lado do centésimo quadrado tem de ser muito menor que o do primeiro, que mede 1.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 55387
Código da prova: 588
Arquivo do PDF: ENEM_2020_P1_CAD_05_DIA_2_AMARELO.pdf