Questão do ENEM 2022

Matemática · habilidade 15Reaplicação · Caderno Azul · Questão 169

Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no formato de prisma reto de base quadrada, com aresta da base de medida $a$ e altura de medida $h$ , ambas de mesma unidade de medida, como representado na figura.

Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual. A altura da nova embalagem será igual a $\frac{4}{3}$ da altura da embalagem atual. As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de $x$ .

Qual a relação de dependência entre a medida $x$ da nova aresta da base e a medida $a$ da aresta atual?

Alternativa A: $x = a$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Se a aresta continuasse igual a $a$ , a capacidade só aumentaria pelo fator $\frac{4}{3}$ da altura, e não triplicaria. A base precisa crescer para compensar.
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Alternativa B: $x = 3a$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Triplicar a aresta triplica cada lado da base quadrada, e a área da base fica multiplicada por 9. Como a altura também aumenta, o volume ficaria multiplicado por 12, e não por 3.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa C: $x = 9a$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O fator 9 é o que multiplica a área da base quando a aresta é triplicada, e não a própria aresta. Como o volume depende de $x^2$ , o valor de $x$ deve ser obtido por raiz quadrada.
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Alternativa D: $x = \frac{3a}{2}$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. O volume atual é $a^2 h$ . O novo é $x^2 \cdot \frac{4h}{3}$ e deve valer $3a^2 h$ . Simplificando $h$ : $x^2 \cdot \frac{4}{3} = 3a^2$ , logo $x^2 = \frac{9a^2}{4}$ e $x = \frac{3a}{2}$ .
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Alternativa E: $x = a\sqrt{3}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. O resultado $a\sqrt{3}$ vem de igualar $x^2 h$ a $3a^2 h$ , esquecendo que a altura da nova embalagem é $\frac{4}{3}$ da atual. Com a altura maior, a aresta da base não precisa crescer tanto.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 39785
Código da prova: 1115
Arquivo do PDF: ENEM_2022_P2_CAD_07_DIA_2_AZUL.pdf