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Questão do ENEM 2020

Matemática · habilidade 2Caderno Amarelo · Questão 170

Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.

Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras. Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por

  1. Alternativa A: 9!9!
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. O valor 9!9! conta todas as permutações das nove letras, sem exigir que vogais e consoantes se alternem e como se as duas letras T fossem distintas. O enunciado impõe a intercalação, que reduz muito essa quantidade.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  2. Alternativa B: 4! 5!4!\,5!
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. O produto 4! 5!4!\,5! respeita a intercalação, mas trata as duas letras T como distintas. Trocá-las de lugar gera o mesmo anagrama, então é preciso dividir por 2!2!.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  3. Alternativa C: 2×4! 5!2 \times 4!\,5!
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. O fator 2 supõe que tanto vogais quanto consoantes poderiam abrir a sequência. Com 5 consoantes e 4 vogais, só há um padrão possível (consoante nas pontas), e ainda faltaria dividir por 2!2! por causa dos T repetidos.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  4. Alternativa D: 9!2\dfrac{9!}{2}
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. A expressão 9!2\frac{9!}{2} considera a repetição da letra T, mas ignora a exigência de que vogais e consoantes apareçam intercaladas, contando também anagramas que a violam.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  5. Alternativa E: 4! 5!2\dfrac{4!\,5!}{2} gabarito
    Justificativa

    Esta alternativa está correta. A frase tem 9 letras: 4 vogais (I, A, O, E) e 5 consoantes (M, P, T, T, R). Para intercalar, como há mais consoantes que vogais, a sequência precisa começar e terminar com consoante: consoante, vogal, consoante, vogal e assim por diante, um único padrão de posições. As 4 vogais ocupam seus lugares de 4!4! modos. As 5 consoantes ocupam os seus de 5!2!\frac{5!}{2!} modos, pois o T aparece duas vezes. O total é 4! 5!2\frac{4!\,5!}{2}.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

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Fonte e auditoria
Código INEP
30462
Código da prova
588
Arquivo do PDF
ENEM_2020_P1_CAD_05_DIA_2_AMARELO.pdf