Questão do ENEM 2024

Matemática · habilidade 19Reaplicação · Caderno Cinza · Questão 144

Um tanque de armazenamento de líquidos tem o formato de uma pirâmide reta de base quadrada, cujo plano que contém essa base é paralelo a um solo plano e horizontal. Esse tanque tem capacidade de 240 litros e altura de 2 metros. Inicialmente vazio, nele é despejado um líquido à vazão constante de $0{,}015\ \mathrm{m^3/s}$ .

Sabe-se que $1\ \mathrm{L} = 1\ \mathrm{dm^3} = 0{,}001\ \mathrm{m^3}$ .

Qual expressão fornece a altura, em metro, da coluna de líquido dentro desse tanque em função do tempo $t$ , em segundo?

Alternativa A: $\sqrt[3]{\dfrac{t}{2}}$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. A capacidade de 240 litros é 0,24 m³. O líquido forma uma pirâmide semelhante à do tanque, com altura h, e a razão entre os volumes é o cubo da razão entre as alturas: $V = 0{,}24 \cdot \left(\frac{h}{2}\right)^3 = 0{,}03\,h^3$ . Com vazão constante, $V = 0{,}015\,t$ . Igualando, $0{,}03\,h^3 = 0{,}015\,t$ , logo $h^3 = \frac{t}{2}$ e $h = \sqrt[3]{\frac{t}{2}}$ . Conferência: o tanque enche em 16 s e $\sqrt[3]{8} = 2$ .
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Alternativa B: $\dfrac{\sqrt[3]{t}}{2}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Em $t = 16$ s o tanque está cheio e a altura deve ser 2 m, mas esta expressão dá $\frac{\sqrt[3]{16}}{2} \approx 1{,}26$ m. Resulta de colocar o fator 2 fora da raiz cúbica, quando ele deve ficar dentro dela.
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Alternativa C: $\dfrac{1}{10}\sqrt[3]{\dfrac{t}{2}}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Em $t = 16$ s o tanque está cheio, com altura 2 m, mas esta expressão dá $\frac{1}{10} \cdot 2 = 0{,}2$ m. O fator $\frac{1}{10}$ não aparece na relação entre o volume e a altura.
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Alternativa D: $\dfrac{1}{10}\sqrt[3]{\dfrac{t}{8}}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Em $t = 16$ s o tanque está cheio, com altura 2 m, mas esta expressão dá $\frac{1}{10}\sqrt[3]{2} \approx 0{,}13$ m. Fatores como $\frac{1}{10}$ vêm de confusão com a conversão entre litros e metros cúbicos, e não aparecem na relação correta.
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Alternativa E: $\dfrac{3}{10}\sqrt[3]{\dfrac{t}{2}}$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Em $t = 16$ s o tanque está cheio, com altura 2 m, mas esta expressão dá $\frac{3}{10} \cdot 2 = 0{,}6$ m. O fator $\frac{3}{10}$ não resulta da relação entre o volume da pirâmide e o da pirâmide semelhante formada pelo líquido.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 27923
Código da prova: 1326
Arquivo do PDF: 2024_PV_reaplicacao_PPL_D2_CD6.pdf