Questão do ENEM 2021

Matemática · habilidade 2Caderno Azul · Questão 136

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega $\varphi$ , e seu valor é dado pela solução positiva da equação $\varphi^2 = \varphi + 1$ .

Assim como a potência $\varphi^2$ , as potências superiores de $\varphi$ podem ser expressas da forma $a\varphi + b$ , em que $a$ e $b$ são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

A potência $\varphi^7$ , escrita na forma $a\varphi + b$ ( $a$ e $b$ são inteiros positivos), é

Alternativa A: $5\varphi + 3$
Justificativa
Esta alternativa está errada. A expressão $5\varphi + 3$ é a que o quadro já mostra para $\varphi^5$ , e não para $\varphi^7$ . Faltam dois passos de multiplicação por $\varphi$ a partir dela.
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Alternativa B: $7\varphi + 2$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com $\varphi \approx 1{,}618$ , o valor de $7\varphi + 2$ é cerca de 13,3, bem menor que $\varphi^7 \approx 29{,}0$ . Os coeficientes de $\varphi$ no quadro (1, 2, 3, 5, 8) seguem a soma dos dois anteriores, e 7 não aparece nessa sequência.
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Alternativa C: $9\varphi + 6$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com $\varphi \approx 1{,}618$ , o valor de $9\varphi + 6$ é cerca de 20,6, bem menor que $\varphi^7 \approx 29{,}0$ . Os coeficientes no quadro seguem a soma dos dois anteriores, e não aumentam de 3 em 3.
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Alternativa D: $11\varphi + 7$
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com $\varphi \approx 1{,}618$ , o valor de $11\varphi + 7$ é cerca de 24,8, menor que $\varphi^7 \approx 29{,}0$ . Pela regra do quadro, cada coeficiente é a soma dos dois anteriores: $8 + 5 = 13$ e $5 + 3 = 8$ , e não 11 e 7.
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Alternativa E: $13\varphi + 8$ gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Cada potência vem de multiplicar a anterior por $\varphi$ e usar $\varphi^2 = \varphi + 1$ . Do quadro, $\varphi^6 = 8\varphi + 5$ . Então $\varphi^7 = \varphi \cdot \varphi^6 = 8\varphi^2 + 5\varphi = 8(\varphi + 1) + 5\varphi = 13\varphi + 8$ .
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Fonte e auditoria

Código INEP: 15209
Código da prova: 899
Arquivo do PDF: ENEM_2021_P1_CAD_07_DIA_2_AZUL.pdf