Questão do ENEM 2023

Matemática · habilidade 4Caderno Rosa · Questão 170

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

Alternativa A: Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Se cada lado somasse 7, a soma dos três lados seria 21, que é exatamente a soma de 1 a 6. Como os vértices entram em dois lados, isso exigiria que os vértices somassem 0, o que é impossível.
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Alternativa B: Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Se cada lado somasse 9, a soma dos três lados seria 27, e os vértices teriam de somar $27 - 21 = 6$ . Três números em progressão aritmética de razão 2 somam no mínimo $1 + 3 + 5 = 9$ , logo a soma 9 não é possível, e além disso há duas soluções, não uma.
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Alternativa C: Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Nenhuma das duas somas, 7 e 9, é possível. Para somas iguais a 7, os vértices teriam de somar 0, e para 9, teriam de somar 6, mas três vértices em progressão aritmética de razão 2 somam no mínimo 9.
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Alternativa D: Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
Justificativa
Esta alternativa está errada. A soma 9 é impossível, pois exigiria vértices somando 6, menos que o mínimo de 9. A soma 12 exigiria vértices somando 15, ou seja, 3, 5 e 7, e o número 7 não pode ser usado, pois só aparecem números de 1 a 6.
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Alternativa E: Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11. gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Os vértices em progressão aritmética de razão 2 só podem ser 1, 3 e 5 ou 2, 4 e 6. Somando os três lados, cada vértice conta duas vezes: $3S = 21 + (\text{soma dos vértices})$ , pois a soma de 1 a 6 é 21. Com vértices 1, 3 e 5, $3S = 30$ e $S = 10$ , com 6, 4 e 2 no meio dos lados. Com 2, 4 e 6, $3S = 33$ e $S = 11$ , com 5, 3 e 1 no meio. As duas soluções existem.
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Fonte e auditoria

Código INEP: 14410
Código da prova: 1216
Arquivo do PDF: ENEM_2023_P1_CAD_08_DIA_2_ROSA.pdf