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Questão do ENEM 2023

Matemática · habilidade 30Caderno Rosa · Questão 152

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

  1. Alternativa A: 20
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. Com 20 bolinhas brancas a mais, a urna B teria 12 + 20 = 32 brancas e 36 bolinhas no total, e a probabilidade de ganhar seria 0,2⋅436≈2,2%0{,}2 \cdot \frac{4}{36} \approx 2{,}2\%, ainda maior que 1%.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  2. Alternativa B: 60
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. Com 60 brancas a mais, a urna B teria 16 + 60 = 76 bolinhas no total, e a probabilidade de ganhar seria 0,2⋅476≈1,05%0{,}2 \cdot \frac{4}{76} \approx 1{,}05\%, que ainda excede 1%.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  3. Alternativa C: 64 gabarito
    Justificativa

    Esta alternativa está correta. Na urna B, 4 bolinhas pretas são 25% do total, então ela tem 16 bolinhas, com 12 brancas. A probabilidade de ganhar é 0,2⋅4n0{,}2 \cdot \frac{4}{n}, em que nn é o novo total, e deve ser no máximo 0,01. Daí 0,8n≤0,01\frac{0{,}8}{n} \leq 0{,}01, logo n≥80n \geq 80. São 80 bolinhas, das quais 4 são pretas e 76 brancas; como já havia 12 brancas, acrescentam-se 76−12=6476 - 12 = 64.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  4. Alternativa D: 68
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. Com 68 brancas a mais, a urna B teria 84 bolinhas e a probabilidade seria 0,2⋅484≈0,95%0{,}2 \cdot \frac{4}{84} \approx 0{,}95\%. Essa quantidade atende à condição, mas não é a mínima, que é o que a pergunta exige: com menos brancas ainda se chega a 1%.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  5. Alternativa E: 80
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. O valor 80 é o número total de bolinhas necessário na urna B, e não a quantidade de brancas a acrescentar. Como a urna já tem 12 brancas e 4 pretas, é preciso acrescentar apenas 76−12=6476 - 12 = 64; com 80 acrescentadas a probabilidade seria menor que 1%, mas sem ser a menor quantidade.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

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Fonte e auditoria
Código INEP
141582
Código da prova
1216
Arquivo do PDF
ENEM_2023_P1_CAD_08_DIA_2_ROSA.pdf