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Questão do ENEM 2023

Matemática · habilidade 9Caderno Rosa · Questão 176

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto PP do mastro, a uma altura hh do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo α\alpha com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: h=11h = 11 m e α=30∘\alpha = 30^\circ

• opção II: h=12h = 12 m e α=45∘\alpha = 45^\circ

• opção III: h=18h = 18 m e α=60∘\alpha = 60^\circ

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

Figura 1 do item 141566
  1. Alternativa A: 2233\frac{22\sqrt{3}}{3}
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. O valor 2233\frac{22\sqrt{3}}{3} resulta de dividir 11 m pelo cosseno de 30∘30^\circ em vez do seno. O cabo é a hipotenusa e a altura hh é o cateto oposto ao ângulo α\alpha, então o comprimento é hsen⁡α\frac{h}{\operatorname{sen}\alpha}; com o cosseno, o resultado não representa o cabo.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  2. Alternativa B: 11211\sqrt{2}
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. O valor 11211\sqrt{2} mistura dados de opções diferentes: usa a altura de 11 m da primeira opção com o ângulo de 45∘45^\circ da segunda. Cada opção tem o seu par (h,α)(h, \alpha); com 11 m e 30∘30^\circ, o cabo mede 22 m.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  3. Alternativa C: 12212\sqrt{2} gabarito
    Justificativa

    Esta alternativa está correta. O cabo, o mastro e o chão formam um triângulo retângulo em que o cabo é a hipotenusa e hh é o cateto oposto a α\alpha, logo o comprimento é hsen⁡α\frac{h}{\operatorname{sen}\alpha}. Opção I: 111/2=22\frac{11}{1/2} = 22 m. Opção II: 122/2=122≈16,97\frac{12}{\sqrt{2}/2} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97 m. Opção III: 183/2=123≈20,78\frac{18}{\sqrt{3}/2} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78 m. A menor medida é 12212\sqrt{2} m.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  4. Alternativa D: 12312\sqrt{3}
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. O valor 12312\sqrt{3}, cerca de 20,8 m, é o comprimento do cabo da opção III, calculado como 18sen⁡60∘\frac{18}{\operatorname{sen}60^\circ}. A conta está certa para aquela opção, mas o enunciado pede a menor medida, e a opção II dá um cabo mais curto, de cerca de 17 m.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

  5. Alternativa E: 22
    Justificativa

    Esta alternativa está errada. O valor 22 é o comprimento do cabo da opção I, 11sen⁡30∘\frac{11}{\operatorname{sen}30^\circ}. Ele é o maior das três opções (22 m, cerca de 17 m e cerca de 20,8 m); escolhê-lo é parar na primeira opção sem comparar com as outras, já que se pede o menor cabo.

    Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

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Fonte e auditoria
Código INEP
141566
Código da prova
1216
Arquivo do PDF
ENEM_2023_P1_CAD_08_DIA_2_ROSA.pdf