Questão do ENEM 2023

Matemática · habilidade 29Caderno Rosa · Questão 162

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

• algarismos de 0 a 9;

• 26 letras minúsculas do alfabeto;

• 26 letras maiúsculas do alfabeto;

• 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;

• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;

• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere $p_1$ , $p_2$ e $p_3$ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

Alternativa A: tipo I, pois $p_1 < p_2 < p_3$ . gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Há $10 + 26 + 26 + 6 = 68$ caracteres permitidos, e 52 deles são letras. A probabilidade é o inverso da quantidade de senhas possíveis. Tipo I: $68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 = 19\,545\,240$ . Tipo II: $52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 10 \cdot 6 = 7\,956\,000$ . Tipo III: $52 \cdot 51 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 5 = 7\,160\,400$ . O tipo I tem mais possibilidades, logo a menor probabilidade, e $p_1 < p_2 < p_3$ .
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa B: tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
Justificativa
Esta alternativa está errada. O tipo está certo, mas a justificativa não: ter menos caracteres tenderia a facilitar a descoberta. O tipo I tem a menor probabilidade porque não impõe restrição de posição, o que dá o maior número de senhas possíveis.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa C: tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
Justificativa
Esta alternativa está errada. O tipo II tem 7 956 000 senhas possíveis, menos que as 19 545 240 do tipo I. Quanto menos senhas possíveis, maior a probabilidade de acertar ao acaso.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa D: tipo III, pois $p_3 < p_2 < p_1$ .
Justificativa
Esta alternativa está errada. A desigualdade está invertida: $p_3$ é a maior das três, pois o tipo III tem o menor número de senhas possíveis (7 160 400). Quem a escolhe associa mais restrições a menor probabilidade.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.
Alternativa E: tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Ter mais caracteres não basta para tornar a senha mais difícil de descobrir quando a estrutura impõe restrições de posição. O tipo III tem 7 160 400 senhas possíveis, menos que o tipo I.
Não revisado · Explicação gerada por IA; pode conter erros.

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Fonte e auditoria

Código INEP: 141540
Código da prova: 1216
Arquivo do PDF: ENEM_2023_P1_CAD_08_DIA_2_ROSA.pdf