Questão do ENEM 2021

Matemática · habilidade 30Caderno Azul · Questão 142

O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, $\frac{1}{2}$ de probabilidade de acertar um dardo no alvo.

A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$ . Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

Alternativa A: 2.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com 2 dardos, a probabilidade de pontuar é $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = 0{,}75$ , inferior a 0,9 e até menor que a das regras atuais, com 3 dardos, que é $\frac{7}{8} = 0{,}875$ .
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Alternativa B: 4. gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. O jogador pontua se acertar ao menos um dardo, o que tem probabilidade $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ . Exigindo ao menos $\frac{9}{10}$ , temos $\left(\frac{1}{2}\right)^n \leq \frac{1}{10}$ , ou seja, $2^n \geq 10$ . Como $2^3 = 8$ não basta e $2^4 = 16$ basta, o mínimo é 4 dardos, com probabilidade $\frac{15}{16} = 0{,}9375$ .
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Alternativa C: 6.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com 6 dardos, a probabilidade de pontuar é $1 - \frac{1}{64} \approx 0{,}984$ , que atende à meta, mas não é a quantidade mínima, pois 4 dardos já dão $\frac{15}{16}$ .
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Alternativa D: 9.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com 9 dardos, a probabilidade é $1 - \frac{1}{512} \approx 0{,}998$ , bem acima do necessário. Associar o 9 ao $\frac{9}{10}$ do enunciado é um engano: a meta é de probabilidade, e não de número de dardos.
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Alternativa E: 10.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com 10 dardos, a probabilidade é $1 - \frac{1}{1024}$ , muito acima de $\frac{9}{10}$ . O 10 do denominador da meta não indica a quantidade de dardos; o mínimo é obtido de $2^n \geq 10$ .
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Fonte e auditoria

Código INEP: 117731
Código da prova: 899
Arquivo do PDF: ENEM_2021_P1_CAD_07_DIA_2_AZUL.pdf