Questão do ENEM 2023

Matemática · habilidade 30Reaplicação · Caderno Amarelo · Questão 166

Após uma reforma, um clube decide comprar duchas para serem instaladas no vestiário. O tipo de ducha escolhida, segundo o fabricante, tem probabilidade igual a $\frac{1}{10}$ de apresentar funcionamento irregular. O administrador do clube planeja adquirir uma certa quantidade dessas duchas, de forma que a probabilidade de que pelo menos uma das duchas adquiridas apresente funcionamento regular seja igual a, no mínimo, $\frac{99}{100}$ .

A quantidade mínima de duchas que deverá ser adquirida para atender ao planejamento desse administrador é

Alternativa A: 2. gabarito
Justificativa
Esta alternativa está correta. Pelo evento complementar, a probabilidade de pelo menos uma ducha regular é 1 menos a de todas serem irregulares: $1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n$ . Exigir que isso seja de no mínimo $\frac{99}{100}$ equivale a $\left(\frac{1}{10}\right)^n \leq \frac{1}{100}$ , ou seja, $n \geq 2$ . Com 2 duchas, a probabilidade é exatamente $\frac{99}{100}$ ; com 1, seria só $\frac{9}{10}$ .
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Alternativa B: 8.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com 8 duchas, a probabilidade de pelo menos uma regular é $1 - 10^{-8}$ , que atende à exigência, mas não é a quantidade mínima: já com 2 duchas ela chega a $\frac{99}{100}$ .
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Alternativa C: 9.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com 9 duchas, a probabilidade de pelo menos uma regular é $1 - 10^{-9}$ , que supera $\frac{99}{100}$ . Porém o enunciado pede a quantidade mínima, e 2 duchas já bastam.
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Alternativa D: 10.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com 10 duchas, a probabilidade é $1 - 10^{-10}$ , muito acima do necessário. Associar o 10 ao $\frac{1}{10}$ do enunciado não leva ao mínimo: o que importa é o expoente de $\frac{1}{10}$ que dá $\frac{1}{100}$ , que é 2.
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Alternativa E: 11.
Justificativa
Esta alternativa está errada. Com 11 duchas, a probabilidade de pelo menos uma regular é $1 - 10^{-11}$ , que atende à exigência com folga enorme. Não é o mínimo, pois com 2 duchas a probabilidade já alcança $\frac{99}{100}$ .
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Fonte e auditoria

Código INEP: 117730
Código da prova: 1295
Arquivo do PDF: ENEM_2023_P2_CAD_08_DIA_2_ROSA.pdf